Cet article explore le fascinant domaine des pavages, en se concentrant sur leurs applications mathématiques et artistiques, et en s'appuyant sur des concepts abordés précédemment dans "Mathématiques, pavages et création artistique". Nous allons plonger dans les subtilités de la façon dont des formes peuvent recouvrir une surface, en particulier la sphère, et comment ces principes s'appliquent à travers différents domaines, des réseaux de polygones aux représentations cartographiques.
Pavage Régulier de la Sphère et Polyèdres Platoniciens
La couverture régulière de la sphère peut être réalisée de plusieurs manières, chacune possédant un attrait esthétique distinct. Bien que la liste des méthodes ne soit pas exhaustive, nous nous concentrerons sur celles qui offrent un intérêt particulier d'un point de vue mathématique et visuel.
Les polyèdres réguliers convexes constituent une base solide pour paver uniformément la sphère. Pour des raisons esthétiques et pour minimiser les distorsions inhérentes à la projection sur une surface courbe, l'icosaèdre est souvent privilégié. Sa plus grande densité de faces permet une meilleure répartition des formes.
Dans la pratique, pour paver la sphère à partir d'un polyèdre, on peut substituer une face du polyèdre par un domaine fondamental approprié, puis appliquer le groupe polyédrique correspondant. Pour l'icosaèdre, un domaine fondamental associé au groupe cristallographique P6 peut être utilisé. Il est important de noter que seulement un nombre limité de groupes cristallographiques peuvent être associés aux groupes polyédriques. Les 60 singes pavant la sphère, par exemple, sont tous considérés comme isomètriques, c'est-à-dire de même forme et de même taille.
Pavage de la Sphère et Projections Cartographiques
Lorsque l'on considère une sphère d'aire finie recouverte par une partie d'aire infinie du plan, cela implique la présence d'un nombre infini d'éléments, que nous pourrions imaginer comme des "éléphants" dans ce contexte. Pour que ces éléments s'ajustent sur la sphère sans laisser d'espaces vides ni se chevaucher, leur taille doit diminuer de manière régulière, et la somme de leurs aires doit converger vers l'aire totale de la sphère.
Les représentations cartographiques offrent un parallèle intéressant avec ce concept. La projection stéréographique, par exemple, est une bijection entre la sphère (à l'exception d'un pôle) et le plan. Cette projection a l'avantage de préserver les angles, une propriété essentielle pour la création de cartes géographiques précises.
Optimisation de la Similitude dans les Pavages Sphériques
L'objectif est de recouvrir la sphère avec des quadrilatères qui ressemblent à des carrés. Il est crucial de comprendre que ces formes ne sont pas des carrés au sens géométrique strict. Leurs côtés ne sont pas des segments de droite mais des arcs de cercle, et seulement trois de ces arcs peuvent avoir la même longueur.
Le processus commence par la division régulière de l'équateur en 'n' arcs. Ensuite, la longueur d'un de ces arcs est reportée sur les méridiens, créant ainsi un premier parallèle. Lorsque la portion du plan quadrillée forme une bande verticale de 27 "éléphants" de large, on obtient un pavage de la sphère par des cercles d'éléphants.
Pour réaliser un pavage de la sphère à l'aide d'une ou plusieurs spirales, une légère déviation des éléments est nécessaire. Cette adaptation permet aux formes de se reconnecter après un ou plusieurs tours, similaire à la transition d'un réseau de polygones réguliers concentriques vers un réseau de spirales logarithmiques. La démarche globale consiste à paver un tube, puis à le courber en une forme toroïdale, comme un solénoïde.
Les Avancées dans l'Analyse des Pavages : Au-delà des Groupes Cristallographiques
Les approches traditionnelles des pavages, qui se basent uniquement sur les groupes cristallographiques (relevant de l'algèbre), sont aujourd'hui considérées comme quelque peu dépassées. Les travaux de Heesch et Hubaut, bien qu'ayant près de 50 ans, ont introduit des concepts basés sur les arcs frontières (relevant de la topologie), offrant une méthode plus complète pour tracer tous les pavages réguliers du plan. Ces avancées ont permis de développer des algorithmes simples, tels que celui décrit pour l'"éléphant", qui étaient auparavant impossibles à réaliser avec le système cristallographique classique, notamment en raison des groupes PG et PGG.
Un logiciel canadien, bien qu'en anglais, offre des capacités remarquables pour visualiser et comprendre les pavages de Heesch (à l'exception de ceux possédant un axe de symétrie). Il explique le principe de classification de Heesch, qui est une approche fondamentale pour comprendre la diversité des pavages possibles.
Pavages de Penrose au CIRM
Exercices Pratiques pour Comprendre les Transformations Géométriques
Pour solidifier la compréhension des concepts de pavage et des transformations géométriques associées, des exercices pratiques sont essentiels.
Exercice 1
Cet exercice ne requiert aucune justification formelle.
Considérons l'hexagone régulier ABCDEF de centre O.
- Parmi les propositions suivantes, quelle est l'image du quadrilatère CDEO par la symétrie de centre O ?
- Quelle est l'image du segment [AO] par la symétrie d'axe (CF) ?
- Considérons la rotation de centre O qui transforme le triangle OAB en le triangle OCD. Quelle est l'image du triangle BOC par cette rotation ?
La figure ci-après représente un pavage dont le motif de base a la même forme que l'hexagone décrit ci-dessus. Certains hexagones sont numérotés.
- Quelle est l'image de l'hexagone 14 par la translation qui transforme l'hexagone 2 en l'hexagone 12 ?
Exercice 2
Un pavage est constitué de losanges tous identiques au losange ABCD, comme illustré dans la figure codée.
- Soit R la rotation de centre D qui transforme B en A. Quel est l'angle de la rotation R ?
- Soit t la translation de vecteur 2BC→.
- Soit SB la symétrie de centre B.
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